Фамилия Максюкова — это отчество второго порядка, то есть по сути «внучье» имя. Если разобрать цепочку: был человек с именем Максим, в домашнем обиходе его звали Макся. Сына Максима называли Максюк (сын Максима или Макси). А уже его дети получили фамилию Максюковы — то есть буквально «внуки Макси». Женская форма Максюкова закрепилась за дочерьми и женами.

Ключевая деталь, которую не стоит упускать, — суффикс -юк. В русской ономастике он считается характерным признаком западноукраинских и белорусских фамилий. В то время как в центральной России отчества чаще образовывали с помощью суффиксов -ов/-ев или -ин, на западе славянского мира -юк выполнял ту же роль, но с местным колоритом. Поэтому, если ваши предки носили фамилию Максюков, есть основания предполагать их корни в тех регионах, где украинский или белорусский языки были основными.

Основа фамилии — краткая форма Макся от канонического имени Максим. Имя это латинского происхождения (maximus) и переводится как «величайший». В народе, однако, форму Макся использовали без оглядки на высокий смысл — просто как удобное, ласковое сокращение. Со временем прозвище Максюк стало фамильным, и потомки уже не помнили, что их далёкий предок был просто «Максимом», которого звали по-свойски.