Фамилия Манат — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не ремесло и не географическое название, а денежная единица. Прямое и самое очевидное объяснение: прозвище Манат дали человеку, имевшему какое‑то отношение к манату — азербайджанской валюте (введена в обращение в 1919 году, затем повторно в 1992‑м). Но здесь важно не попасть в ловушку хронологии: фамилии в русской традиции массово оформлялись в XVIII–XIX веках, а манат как платёжное средство появился позже. Значит, либо фамилия молодая (образована в XX веке от прозвища «Манат» — например, у торговца, имевшего дело с этой валютой), либо корень иной.

Вторая версия ведёт к тюркским языкам. В ряде тюркских наречий «манат» означает «мелкая монета», «деньги» вообще. В этом случае прозвище могли дать человеку прижимистому, расчётливому или, наоборот, тому, кто постоянно пересчитывал выручку — лавочнику, меняле, казначею. Суффикс нулевой, фамилия нестандартная: она не обросла типичными русскими окончаниями -ов, -ев, -ин, что указывает либо на позднее заимствование, либо на нерусское происхождение носителя. Встречается она преимущественно на юге России, в Поволжье и в Закавказье — в зоне контакта с тюркскими языками.

Третий, более экзотический вариант — от арабского «манат» (идол, истукан). В доисламской Аравии Манат была одной из трёх главных богинь. Но такое объяснение для русской фамилии маловероятно: слишком далёкая и специфическая семантика, которая вряд ли прижилась бы в бытовом прозвище на славянской почве.

Есть ещё одна деталь: фамилия Манат может быть усечённой формой от более длинной — например, Манатов или Манатьев. В таком случае исходной была фамилия на -ов, а при переписи или в быту окончание отпало. Такое встречается, если носитель жил в среде, где русские фамильные суффиксы не были обязательны (например, среди азербайджанцев, татар, туркмен). Поэтому, если вы ищете свои корни, стоит проверить и вариант Манатов — он встречается чаще и легче датируется по архивным записям.

Итог: фамилия Манат, скорее всего, связана с деньгами — прозвище человека, имевшего дело с манатами или деньгами вообще. Она не древняя, а возникла не раньше XIX–XX веков, и географически привязана к регионам, где были распространены тюркские языки или азербайджанская валюта.