Фамилия Медведив — редкий случай в русской ономастике, и её написание сразу привлекает внимание. В ней нет суффикса -ов или -ев в привычном виде, а есть окончание -ив, что для русских фамилий нетипично. Это почти наверняка указывает на украинское или белорусское происхождение. В украинском языке суффикс -ив (-ів) соответствует русскому -ов и обозначает принадлежность: Медведив — «чей?» — «Медведев», то есть сын или потомок человека по прозвищу Медведь. То есть по сути это фонетический и орфографический вариант распространённой русской фамилии Медведев, но записанный по правилам украинской грамматики.

Основа фамилии — прозвище Медведь. В древнерусской и украинской традиции медведя называли не только по зверю, но и давали такое прозвище человеку за силу, угрюмость, неуклюжесть или, наоборот, за добродушие и мощь. Медведь был тотемным животным у славян, поэтому прозвище могло быть и обережным: считалось, что названный так ребёнок унаследует здоровье и выносливость зверя. В документах XVI–XVII веков встречаются люди с прозвищем Медведь, которые затем становились Медведевыми или, в украинских землях, Медведивыми.

Интересно, что написание через «и» в конце (Медведив, а не Медведев) могло закрепиться при переселении носителя фамилии из украинских губерний в великорусские. В метрических книгах и ревизских сказках писарь часто записывал фамилию на слух, и если человек говорил «Медведив» с украинским произношением, то так и фиксировали. Позже, при паспортизации в советское время, написание могли оставить без изменений, если семья настаивала на привычном для себя варианте.

Сравните с однокоренными фамилиями: Медведь, Медведко, Медведев, Медведков, Медведчиков. Медведив стоит особняком — он выбивается из стандартного ряда именно суффиксом. Если вы встретили эту фамилию у предков из Черниговской, Полтавской или Киевской губерний, то происхождение почти очевидно. Если же фамилия бытует в русском регионе, это, скорее всего, след миграции или ошибки переписчика, которая со временем стала родовой нормой.