Фамилия Медведива — один из тех редких случаев, когда написание вводит в заблуждение. На слух она почти неотличима от распространённой фамилии Медведева, но суффикс -ив- вместо -ев- меняет всю историю происхождения. Если бы фамилия была образована стандартно, от прозвища Медведь, мы бы получили Медведев — «чей?» — сын Медведя. Суффикс -ив- в русских фамилиях встречается редко и обычно указывает на притяжательное прилагательное от имени или прозвища с окончанием -ий. То есть исходная форма могла звучать как Медведий, а Медведив — это уже «сын Медведьего». Такая модель встречается в южнорусских и украинских говорах, где фамилии на -ив (как Ковалив, Шевцив) — обычное дело, но в русском языке они закрепились через церковнославянское влияние или через адаптацию украинских фамилий.

Есть и другая версия, более прозаичная: ошибка переписи. В XIX веке крестьянам часто записывали фамилии на слух, и писарь мог механически прибавить лишнюю букву, превратив Медведева в Медведива. В пользу этой версии говорит то, что в подавляющем большинстве архивных документов XIX — начала XX века фамилия встречается именно в форме Медведев, а вариант с -ив- — единичен. Однако если это не ошибка, а осознанное бытование, то носители фамилии происходят из региона, где финаль -ив была нормой: например, из бывших Черниговской или Полтавской губерний.

Основа фамилии — прозвище Медведь. На Руси его давали не только за физическую силу или неуклюжесть, но и как охранительное имя: считалось, что назвав ребёнка Медведем, родители отводят от него злые силы. Поэтому предок Медведивых мог быть и медвежатником (ловцом или вожаком медведей), и просто крупным человеком, и тем, кого в детстве так назвали по суеверию. Фамилия — редкая, в современных справочниках её почти нет, что только подтверждает её локальный или случайный характер. Если ваша фамилия именно Медведива, скорее всего, где-то в XIX веке вашего предка записали нестандартно — и это теперь ваша семейная особенность.