Фамилия Медякоская, при всей своей кажущейся прозрачности, таит в себе несколько загадок. Самое заметное — её окончание. Суффикс -ск- указывает на типично польский или западнорусский (шляхетский) способ образования фамилий от названий местности. В русской традиции такие фамилии (на -ский/-цкий) часто носили дворяне или духовенство, но в Беларуси и на Украине они могли принадлежать и крестьянам, и мещанам, если те жили в селе с соответствующим названием.

Основа фамилии — Медяко-. Здесь возможны два основных прочтения. Первое и самое прямое: от слова «медь» или «медный». Предок мог быть медником, лудильщиком, рудокопом на медных приисках или просто жить в местности, где добывали медь. Второе, более вероятное для фамилии на -ский: топонимическое происхождение. Существовали и существуют села и усадьбы с названиями вроде Медяки, Медяково, Медяковка. В таком случае Медякоский — это человек «из Медяков» или «медяковский», то есть выходец из этого населенного пункта.

Необычная форма Медякоская (с ударением, вероятно, на втором «о») вместо более привычной мужской формы Медякоский сразу выдает, что перед нами женский вариант фамилии. В русской и украинской традиции фамилии на -ский склоняются по падежам и имеют разные окончания для мужчин и женщин. Поэтому, говоря о роде, мы имеем дело с вариантом, который носит женщина.

Интересная деталь: если бы фамилия происходила напрямую от прозвища Медяк (человек, связанный с медью), мы бы скорее получили форму Медяков или Медякин (с суффиксами -ов/-ев или -ин). Выбор суффикса -ск- почти наверняка означает, что фамилию дали не по ремеслу, а по месту жительства. То есть предки носительницы фамилии, скорее всего, владели землей или жили в населенном пункте, название которого звучало как «Медяки». Такое имя могло возникнуть из-за медного цвета почвы, из-за зарослей медоносных растений (путаница с «мед»), либо из-за прозвища первого поселенца.

Встречается фамилия редко, преимущественно на западе России и в восточной Беларуси — в регионах, где в XVI–XVII веках активно шло формирование мелкопоместной шляхты и крестьян с фамилиями на -ский. Если ваша фамилия именно Медякоская, а не Медяковская, это указывает на достаточно архаичную и локальную форму, не затронутую позднейшей унификацией написания.