Фамилия Меньшыков — редкий случай, когда написание сохранило архаичную букву «ы» вместо привычного «и» после шипящего. В дореволюционной орфографии такое написание было нормой: после «ш» писали «ы» (ср. «нашь», «вашь»). Современный вариант фамилии — Меньшиков — встречается гораздо чаще, а форма с «ы» указывает либо на старую запись в метриках, либо на сознательное сохранение исторического облика фамилии в XIX — начале XX века.

Основа фамилии — прозвище Меньшой или Меньшик. В древнерусском языке «меньшой» означало «младший», «меньший по возрасту или положению». Прозвище давали младшему сыну в семье, чтобы отличать его от старших братьев (которых могли называть Большой, Старшой, Первой). Суффикс -ик в прозвище Меньшик уменьшительно-ласкательный, он подчёркивал младший возраст или невысокий рост. Модель образования фамилии стандартная для XVI–XVII веков: к прозвищу на -ик прибавляли суффикс -ов, и получалось «Меньшиков» — сын Меньшика.

Географически фамилия Меньшыков (и её основной вариант Меньшиков) распространена по всей центральной России, но особенно плотно — в бывших вотчинах князей Меньшиковых. Однако не стоит путать: знаменитый сподвижник Петра I Александр Данилович Меншиков носил фамилию без мягкого знака (Меншиков), происходящую от прозвища Меншик (с вариантом Меньшик). Вариант с «ы» и мягким знаком — Меньшыков — скорее крестьянская или мещанская фамилия, зафиксированная в северных и центральных губерниях, например в Вологодской и Ярославской.

Интересная деталь: в «Ономастиконе» Веселовского упоминается несколько Меньшиковых — крестьян и посадских людей XV–XVII веков. Это говорит о том, что фамилия не была исключительно дворянской, а бытовала в разных сословиях. Если ваш предок писался именно через «ы», он мог быть грамотным человеком старой школы либо жить в местности, где сохранялась дореформенная орфография вплоть до 1918 года.