Фамилия Митряшова — женская форма, а её основа мужская — Митряшов. В русской традиции фамилий на -ов/-ев это означает, что предок носителя фамилии звался Митряш. Само имя Митряш — это народная, обиходная форма канонического имени Дмитрий, образованная с помощью суффикса -яш. Такие уменьшительные формы (Тит — Тиняш, Клим — Климяш, Дмитрий — Митряш) в XVI–XVII веках были распространены в среде крестьян и посадских людей: полное имя в быту заменяли коротким, ласковым или просторечным вариантом.

Особенность фамилии в том, что она сохранила «мягкий» вариант основы. В отличие от распространённой фамилии Митрофанов (от Митрофан), Митряшов отсылает именно к Дмитрию. Суффикс -яш в русском именослове редок: он чаще встречается в украинской и белорусской традиции (Гриц — Грицяш), но попал и в северные русские говоры. Поэтому фамилия Митряшов имеет двойной географический след: с одной стороны, она могла закрепиться в районах, куда переселялись выходцы из западнорусских земель, с другой — бытовать там, где имя Дмитрий в быту регулярно «ужимали» до Митря.

Словообразовательная модель проста: к основе Митряш прибавили типичный русский патронимический суффикс -ов, означающий «сын Митряша». Никакой связи с ремеслом или прозвищем тут нет — фамилия чисто «именная», то есть образована от личного имени предка. В документах XVI–XVII веков можно встретить крестьян Митряшовых в Вологодской и Костромской губерниях, но массовое распространение фамилия получила позже, в XIX веке, когда крестьянам начали массово присваивать фамилии по отцу.

В современном русском языке фамилия встречается нечасто, в основном в центральных и северных регионах России. Ударение, скорее всего, падает на второй слог — Митряшо́ва, хотя в некоторых говорах возможно смещение на последний. Если коротко: предки Митряшовых — люди, чьего отца или деда в быту звали Митряш, то есть Дмитрий.