Фамилия Монаева — женская форма от Монаев, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Модель на -аев (а не на -ев или -ов) указывает на тюркское происхождение основы. В русских фамилиях суффикс -аев обычно присоединялся к именам или прозвищам, оканчивающимся на -ай (ср. Бабай → Бабаев, Мамай → Мамаев). Значит, в основе лежит имя или прозвище Монай.

Что такое «Монай»? Здесь возможны две версии, и обе связаны с тюркскими языками, распространёнными в Поволжье, на Урале и в Сибири. Первая: Монай — вариант имени Мансур (от арабского «победоносный») в диалектной огласовке, где «у» перешло в «о». Такая замена гласных типична для татарского и башкирского языков. Вторая версия: Монай — прозвище от тюркского слова со значением «вот», «здесь» или от глагола «моңай» — «грустить», «тосковать». В этом случае прозвище могли дать задумчивому или меланхоличному человеку.

Обе версии правдоподобны, но первая (от имени Мансур) встречается в ономастике чаще: многие тюркские фамилии образованы от арабских имён, адаптированных местным произношением. Вторая версия — более редкая, но тоже возможна, особенно если в роду сохранилось предание о значении прозвища.

Географически фамилия Монаев (и Монаева) тяготеет к регионам с тюркским населением: Татарстан, Башкортостан, Оренбургская, Челябинская области. Встречается она и у русских, но, как правило, в тех же местах — это следствие многовекового соседства и смешанных браков. Социальный состав носителей был пёстрым: от крестьян и казаков до купцов, что типично для фамилий такого типа.

Есть и редкий вариант написания с двумя «а» — Монааева, но он, скорее всего, результат ошибки в документах или редкостного диалектного произношения. Основная же форма — Монаева — прочно закрепилась в метрических книгах XIX века. Фамилия не принадлежит к числу дворянских, но и не маркирует крепостное состояние: в тюркской среде сословные перегородки были иными, и фамилия могла быть у кого угодно.