Фамилия Монака — редкий случай, когда подозрение на иноязычное происхождение оправдано, хотя по форме она почти идеально вписывается в восточнославянскую модель. Если бы она заканчивалась на -ов или -ин, вопросов бы не было. Но финальное -а, притом ударное, выдает нерусский корень.

Скорее всего, перед нами украинская или белорусская фамилия, образованная от прозвища Монак. В основе лежит слово «монах» — человек, принявший постриг. Прозвище Монак могли дать не только настоящему иноку, но и мирянину, который вел аскетичный, замкнутый образ жизни, избегал мирских удовольствий или даже просто одевался в темное, скромное платье. В украинском языке слово «монах» звучит как «монах» или «монак» (с твердым окончанием), отсюда и прозвище. Суффикс -а в фамилии — это патронимический или посессивный показатель, характерный для украинской модели на -а/-я (ср. Величко, Головня, Мазепа). То есть Монака — это «сын Монака» или «человек из рода Монаков».

Менее вероятна, но возможна итальянская версия. Фамилия Monaca (например, Ла Монака) существует в Италии и означает «монахиня». Она могла попасть в Россию через греческие или южнославянские земли, но это единичные случаи, и для массового бытования фамилии в русскоязычной среде такое объяснение слабое.

Географически фамилия Монака встречается в основном на западе Украины (Волынь, Галичина) и в южных областях Беларуси. В России она редка и часто является результатом миграции из этих регионов. Сословно носители фамилии в XIX веке были преимущественно крестьянами и мещанами, реже — духовенством (что логично, учитывая семантику основы).

Что касается ударения: в украинском варианте оно падает на второй слог (Мона́ка), и это единственно верное произношение. Вариант с ударением на первый слог (Мо́нака) — калька с итальянского, но для русской этимологии он ошибочен.