Фамилия Монархова — женская форма от Монархов, и её разбор стоит начать с суффикса. Модель образования типична для русских фамилий: основа плюс суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?»). В мужском роде это Монархов, в женском — Монархова. Такая модель в XV–XVII веках закрепилась за детьми и женой человека, носившего прозвище или имя Монарх.

Основа фамилии — слово «монарх». Но в русской традиции прозвища редко давали по титулам в прямом смысле. Куда вероятнее, что Монархом в крестьянской или посадской среде прозвали человека за властный характер, гордую осанку или привычку командовать. В документах XVI–XVII веков встречаются прозвища Царь, Князь, Боярин — их давали не по знатности, а по поведению или внешности. Монарх из того же ряда. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» такие образования названы «прозвищными фамилиями от титулов», причём подчёркивается, что они не указывают на реальное происхождение от монархов.

Географически фамилия Монархов встречается не повсеместно. По данным современных исследований, очаги бытования — центральные и южные регионы России, где была развита крестьянская и однодворческая среда: Тамбовская, Воронежская, Курская области. В этих местах прозвища давали яркие, часто ироничные. Монарх в такой среде — скорее насмешливое или уважительно-шутливое прозвание.

С точки зрения словообразования фамилия Монархова стоит в одном ряду с более частыми Царёв, Королёв, Князев. Но если Королёв встречается повсеместно, то Монархов — вариант редкий, с той же структурой, но с менее употребительной в быту основой. Это не случайность: слово «монарх» вошло в русский язык позже, через польское посредничество, и в народной речи закрепилось слабее, чем «царь» или «князь». Поэтому фамилия могла возникнуть не в среде природных крестьян, а у людей, имевших отношение к грамоте или службе, где такое слово было в ходу.

Итак, предки носительницы фамилии Монархова — скорее всего, не монархи, а человек по прозвищу Монарх, живший в XVII–XVIII веках в центральной России. Сама фамилия — редкий пример прозвищной модели с «титульной» основой, которая не стала массовой.