Фамилия Монастырная — одна из тех, что образована не от имени или прозвища, а от названия места или уклада жизни. Её основа — слово «монастырь», и в большинстве случаев она указывала на человека, который жил при монастыре или принадлежал к монастырскому хозяйству. В отличие от более распространённой мужской формы «Монастырёв», женское окончание -ая здесь не случайность: это типичная «географическая» модель, по которой в русских говорах образовывали фамилии от названий сёл и деревень. Если предок носителя фамилии был, скажем, «Монастырный» (то есть крестьянин из села Монастырского), то его потомки могли получить фамилию Монастырные, а в женском роде — Монастырная.

Словообразовательный разбор показывает редкую для русских фамилий черту: суффикс -н- и окончание -ая (а не -ов/-ев или -ин) выдают «адъективный» тип. Такие фамилии чаще встречались на юге России и Украине, где было много поселений с названиями вроде Монастырское, Монастырище. В центральных и северных губерниях ту же основу обычно «переделывали» в Монастырёв или Монастырский. Поэтому носительница фамилии Монастырная с большой вероятностью происходит из семей, которые либо жили вблизи монастырей и работали на их землях, либо получили фамилию по названию родного села.

Ономастика здесь почти не даёт простора для споров: прямое значение «относящийся к монастырю» перевешивает любые альтернативные версии. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) этот тип описывается как характерный для бывших монастырских крестьян — тех, кто до секуляризации XVIII века числился за монастырём. После реформы 1764 года такие крестьяне стали экономическими, но фамилия закрепилась. Интересно, что в некоторых регионах слово «монастырный» могло быть прозвищем: так называли человека, который часто ходил в монастырь или вёл аскетичный образ жизни. Но для фамилии эта версия менее вероятна — прозвища редко застывали в форме прилагательного с окончанием -ая.

Географически фамилия Монастырная сегодня встречается нечасто, но заметна в нескольких областях: в Белгородской, Курской и Воронежской — как раз там, где было много монастырских вотчин. Если ваши предки оттуда, то фамилия почти наверняка несёт память о земле, на которой они жили, а не о роде занятий.