Фамилия Наборов — редкий случай, где корень слова и фамилия не совпадают по смыслу. Основа «набор» сразу вызывает ассоциации с типографским наборщиком или с комплектом вещей, но происхождение фамилии может быть совсем иным. Скорее всего, перед нами прозвище, образованное от глагола «набирать», но не в мирном значении.

Наиболее вероятная версия — военная. В старину «набором» называли рекрутский набор, а «наборщиком» — того, кто вербовал солдат. Прозвище Набор мог получить человек, занимавшийся набором рекрутов, или, напротив, сам рекрут, попавший в солдаты. Фамилия образована по типичной модели с суффиксом -ов, который в русских фамилиях указывает на принадлежность: сын Набора, потомок того, кого так прозвали.

Вторая версия — профессиональная, но более узкая. Наборщиками называли не только типографских рабочих, но и сборщиков податей, налогов. В северных говорах «набор» означал «сбор», «складчина». Прозвище могло закрепиться за сборщиком оброка или за человеком, который что-то интенсивно собирал, накапливал. Однако типографская версия маловероятна: профессия наборщика появилась поздно, в XVIII–XIX веках, а фамилии к тому времени уже сложились.

Нельзя исключать и диалектный вариант. В некоторых областях «набором» называли узор, вышивку, а «наборщиком» — мастера по украшению тканей. Но это редкое значение, и фамилия Наборов вряд ли массово пошла от ремесленников.

Географически фамилия встречается редко, преимущественно в центральных и северных регионах России. Встречается вариант Наборовский, что может указывать на польское или белорусское происхождение (суффикс -овский). Однокоренных фамилий немного: Наборщиков, Наборнов — все они отсылают к той же основе.

Таким образом, ваш предок, скорее всего, был либо военным вербовщиком, либо рекрутом, либо сборщиком налогов. Но точное значение зависит от местности, где фамилия закрепилась.