Фамилия Надышев — довольно редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы понять её корень, стоит отбросить суффикс -ев, который указывает на принадлежность («чей?» — сын Надыша). Основа — Надыш.

Самая вероятная версия связывает фамилию с диалектным словом «надысь» или «надысьный». В северных и уральских говорах «надысь» означает «на днях», «недавно», «вчера». Отсюда «надысь» — недавний, вчерашний. Человек по прозвищу Надыш мог получить его за то, что появился в селе недавно, был пришлым или «вчерашним» — то есть новичком. Прозвища, данные по времени прибытия или появления, встречаются в русской ономастике: ср. фамилии Вчерашний, Позавчерашний, Надысев.

Морфология подкрепляет эту версию. Суффикс -ыш в прозвищах и личных именах характерен для русского языка (Малы́ш, Глупы́ш, Крепы́ш). Надыш — человек, которого характеризуют как «надышего», то есть недавнего. Модель образования: наречие «надысь» → прозвище Надыш → фамилия Надышев.

Менее убедительна гипотеза о связи с тюркским корнем «надыр» (редкий, единственный). Фонетически переход «р» в «ш» нехарактерен, и фамилия не имеет типичных тюркских суффиксов (типа -ов, -ев, -ин могли бы быть, но основа не тюркская). Поэтому версия с «надысь» выглядит предпочтительнее.

Географически фамилия Надышев встречается в основном в центральных и северных областях России — Вологодской, Кировской, Архангельской, а также в Поволжье. Это совпадает с ареалом бытования слова «надысь». В этих краях фамилия могла возникнуть в среде крестьян, где прозвища часто отражали обстоятельства жизни: «Надыш» — тот, кто прибился к общине недавно, «вчерашний» житель.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Надысев, Надысов — показывает, что все они восходят к одному корню, но суффиксы разные. Надышев — наиболее распространённый вариант. В написании фамилии встречается путаница: иногда пишут Надышев или Надышов, но правильная форма с -ев, так как основа оканчивается на шипящий.

Таким образом, Надышев — фамилия, образованная от прозвища, которое дали человеку, недавно появившемуся в поселении. Ваш предок, скорее всего, был «надышем» — новичком, которого так и прозвали соседи.