Фамилия Недрега — редкая и выразительная, её происхождение напрямую связано с прозвищем, которое закрепилось за человеком. Основа фамилии — глагол «дрегать» (дрожать, трястись, трепетать, а в некоторых говорах — «дрегаться» значит биться в конвульсиях или судорогах). Приставка «не-» в русских прозвищах часто выполняла роль отрицания, но не всегда буквального. Недрегой могли назвать человека спокойного, невозмутимого, того, кто «не дрожит» и не суетится. Однако в народной традиции такие прозвища нередко давались с обратным смыслом, «от противного»: Недрегой могли окрестить беспокойного, нервного или слишком подвижного человека, чтобы сглазить или, наоборот, задобрить.

В отличие от фамилий на -ов/-ев, образованных от отчества или имени отца, фамилия Недрега сохранила форму прозвища в чистом виде, без суффикса. Это характерно для украинских, белорусских и южнорусских фамилий, где прозвища часто переходили в фамилии без изменений (ср. Несмачный, Непейвода, Некраса). Такая модель указывает на то, что фамилия могла сложиться на территории современной Украины, Белоруссии или в южных областях России, где подобная отантропонимическая система была распространена.

Встречается фамилия и у поляков — Nędrega или Niedrega. Польский корень nędza («нищета, бедность») даёт другую версию: Недрега могло быть прозвищем бедняка или того, кто жил в нужде. Это объяснение более прозрачно для польского уха, но для русского языка связь с «дрегать» всё же первична, поскольку корень «нищета» в русском звучит иначе (через «щ»). Поэтому носителям фамилии из восточнославянских земель стоит ориентироваться на первую, глагольную версию.

Интересно, что фамилия Недрега почти не встречается в дворянских родословных книгах и в списках купечества — это фамилия крестьянская или мещанская. Её носители, скорее всего, были людьми из простонародья, и прозвище закрепилось за ними в XVI–XVII веках, когда шёл активный процесс формирования фамилий у непривилегированных сословий. Сегодня фамилия остаётся редкой, что делает её особенно ценной для генеалогического поиска — найти родственников по такой фамилии проще, чем по массовым Ивановым или Кузнецовым.