Фамилия Немирюк — редкий пример, где прозвище, лёгшее в основу, не сразу поддаётся однозначному толкованию. В её центре — корень «немир-», который в древнерусском языке означал «ссора, вражда, раздор». Человек по прозвищу Немир — тот, кто не живёт в мире, сварливый, неуживчивый, или же тот, кто постоянно втянут в тяжбы и конфликты. Такие «именования по характеру» были распространены: давали их не в обиду, а как опознавательный знак — например, для переписи или в военных списках. Суффикс «-юк» типичен для западнорусских земель, особенно для Волыни, Подолья, Полесья и Галиции. В польском, украинском и белорусском языках этот суффикс указывал на принадлежность к роду или на молодость: Немирюк — буквально «сын (или потомок) Немира», «маленький Немир». Так что фамилия могла закрепиться и как отчество, и как уменьшительное прозвище.

Есть и другая, менее очевидная версия, которую стоит упомянуть из-за её неожиданности: связь с тюркским именем Немир (вариант Немер), которое встречалось в среде служилых татар. В этом случае корень восходит к арабскому «амир» (повелитель, князь) с отрицательной частицей — получается «не-эмир», то есть «не князь», «простолюдин». Версия спорная, но для фамилий с корнем «немир-» на востоке бывшей Речи Посполитой её иногда приводят. Более вероятна всё же славянская основа: прозвище по характеру или по обстоятельствам жизни.

По социальному составу Немирюки — это почти наверняка крестьянский или казацкий род. В реестрах Войска Запорожского и в метрических книгах правобережной Украины XVII–XVIII веков фамилии с таким суффиксом встречаются часто. Дворянство среди Немирюков — редкость, но не исключение: в польских гербовниках есть шляхетские фамилии на «-юк», хотя Немирюк туда, скорее всего, не попал. Важно, что в русском языке фамилия не склоняется как типичная славянская: Немирюк — Немирюка — Немирюку, то есть ведёт себя как обычное существительное второго склонения, что тоже указывает на её западнорусское происхождение.

Если ваши предки — Немирюки, ищите корни на территории современной Украины, особенно в Ровенской, Житомирской или Хмельницкой областях, а также в приграничных районах Беларуси. Фамилия редкая, поэтому даже одна архивная запись может дать много информации.