Фамилия Перекотин — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а глагольная форма, связанная с движением. Корень здесь — «перекат» или «перекотить». Скорее всего, прозвище Перекота дали человеку, который постоянно переезжал с места на место, не имел постоянного жилья. В русских говорах «перекотиться» означало сдвинуться, переместиться, а «перекотина» — переезд, смена жилья. Такая фамилия могла закрепиться за бродячим ремесленником, отходником или просто непоседой.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Перекотин — «сын Перекоты». Это типичная модель для русских фамилий, образованных от прозвищ на -а, -я. В отличие от фамилий на -ов (которые чаще от основ на согласный), здесь мы видим старую притяжательную форму. Географически фамилия встречается в основном на юге России и в Поволжье, что косвенно подтверждает связь с вольными переселенцами, казаками или крестьянами, менявшими места жительства.

Интересно, что фамилия Перекотин имеет формальное сходство со словом «перекати-поле», но это именно омонимия, а не родство. Стеблястые растения, катящиеся по степи, называли «перекати-поле» уже в XIX веке, а прозвище Перекота могло появиться раньше, просто по сходству поведения человека с катящимся клубком. В словаре древнерусских прозвищ С. Б. Веселовского подобных форм нет, что говорит о позднем закреплении фамилии — скорее всего, в XVII–XVIII веках, когда фиксировались прозвища по бытовым чертам.

Известных носителей фамилии Перекотин в истории почти нет — это фамилия недворянская, крестьянская или мещанская. Встречаются упоминания Перекотиных в списках однодворцев Воронежской губернии и казаков Донского войска. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были людьми подвижными, возможно, занимались извозом, торговлей вразнос или сезонными работами — теми, кто «перекатывался» за заработком по России.