Фамилия Першаков образована от мирского имени или прозвища Першак, которое и стало её прямой основой. Вопреки распространённому мнению, что все фамилии на -ак/-як имеют южнорусское или украинское происхождение, здесь стоит разобраться внимательнее, потому что версий происхождения самого имени две, и они ведут к разным смыслам.

Первая и наиболее правдоподобная гипотеза связывает имя Першак с украинским прилагательным «перший», то есть «первый». В этом случае прозвище Першак мог получить первенец в семье, старший сын или, реже, человек, который в каком-то деле был зачинателем, шёл впереди других. Модель типична для народной ономастики: подобным образом появлялись имена Вторак, Третьяк, Четвертак, указывавшие на порядок рождения ребёнка. Логика проста: родился первым — стали звать Першаком, а его дети уже записались Першаковыми. Эта версия выглядит убедительнее ещё и потому, что прозвища по старшинству были широко распространены по всей Руси, а не только на юге.

Согласно второй гипотезе, Першак — это народная, разговорная форма канонического имени Порфирий. Имя греческое, происходит от слова «porphyra» — длинная пурпурная мантия, которую в торжественных случаях надевали монархи, так что буквально Порфирий означает «пурпурный, багряный». В крестьянской среде, где сложные греческие имена часто перекраивали на свой лад, Порфирий вполне мог превратиться в Першака или Перфилия. Однако эта версия встречает препятствие: если бы фамилия пошла от Порфирия, мы бы чаще встречали формы Перфилов, Перфильев или Порфирьев. Форма Першак всё же тяготеет к корню «перш-» в значении «первый».

Суффикс -ак в основе имени Першак не уменьшительно-ласкательный, а скорее определительный, он часто маркировал человека по характерному признаку или месту в семье. А вот фамильный суффикс -ов здесь стандартный: он указывает на принадлежность потомку человека по имени Першак. То есть Першаков буквально — «сын Першака», «из рода Першаковых».

Интересно, что фамилия бытует в двух написаниях: Першаков и Першиков, и это не ошибка. Першиков восходит к уменьшительной форме Першик от того же имени, а Першаков — к более грубоватой, простонародной форме Першак. Обе фамилии — родственники, но разошлись по разным ветвям ещё в XVII–XVIII веках, когда фамилии только закреплялись.

Социальный срез фамилии типичен для непривилегированного сословия: Першаковы — это в основном крестьяне и посадские люди. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано, что косвенно подтверждает народное, а не книжное происхождение имени-основы. В документах фамилия встречается с XVII века, преимущественно в северорусских и центральных уездах, а также в Сибири, куда её занесли переселенцы.

Если коротко: Першаков — потомок Першака, а сам Першак, скорее всего, был первенцем в семье. Версия с Порфирием остаётся запасной, но менее вероятной, поскольку не объясняет устойчивость именно формы «Першак» в фамилии.