Фамилия Погребинская звучит по-дворянски, но на деле указывает на корни совсем не аристократические, а скорее крестьянские или мещанские. География фамилии — украинско-белорусские земли, что сразу выдает суффикс —ская, характерный для фамилий, которые формировались на этих территориях под влиянием польской ономастической традиции. В России такой суффикс чаще встречался у духовенства, но у Погребинских, скорее всего, другая история: так могли называть шляхту, которая брала фамилию по названию своего поместья или местечка, но нередко — и простых людей, переселявшихся из села с похожим названием.

В основе фамилии лежит прозвище Погреб, а оно, в свою очередь, восходит к нарицательному «погреб». Тут есть две правдоподобные версии. Первая: прозвище давали человеку, который жил в низине, овраге или даже землянке — такое жилье в народе называли погребом за сходство с холодным подвалом. Вторая версия связывает прозвище с глаголом «погребать», то есть хоронить, закапывать. В этом случае Погребом могли прозвать могильщика или человека, чья работа была связана с земляными работами. Первая версия выглядит убедительнее: прозвища по месту жительства встречались чаще, чем прозвища по профессии могильщика, которое вряд ли стало бы основой для фамилии.

Обратите внимание на словообразовательную цепочку. Сначала появилось прозвище Погреб, от него — фамилия Погребинский (или Погребинская для женщин). Суффикс —ин— здесь не притяжательный, как в фамилиях Погребов или Погребин, а скорее формант, который помогал образовать фамилию от топонима или прозвища по модели «принадлежащий к местности Погребное». Впрочем, не исключено, что Погребинские происходят из села с названием Погребное или Погребище — такие топонимы встречаются на Украине и в Беларуси. Тогда фамилия означает «выходец из Погребного», и это третья, вполне реальная версия, которая не противоречит первым двум: прозвище главы семьи могло совпасть с названием деревни.

Сравните с однокоренными фамилиями: Погребов, Погребной, Погребняк. Погребняк — чисто украинская фамилия, образованная с помощью суффикса —як, который указывает на род деятельности или характерный признак. Погребинская стоит особняком: суффикс —ская делает ее более «географической», привязанной к месту, а не к личному прозвищу. Это редкий случай, когда одна и та же основа породила фамилии разного типа в зависимости от региона и социальной среды.

Точных сведений о первых носителях фамилии Погребинская нет, и это нормально для фамилий такого типа. Они не попали в ранние переписные книги, потому что массово закреплялись позже, в XVII–XVIII веках, когда крестьян и мещан на западе Российской империи начали записывать с постоянными фамилиями. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах Черниговской, Киевской или Могилевской губерний — там фамилия встречается чаще всего.