Фамилия Погребня — редкий случай, когда суффикс сразу выдаёт происхождение. Окончание -ня характерно для украинских и южнорусских фамилий, образованных от прозвищ или профессий. Основа здесь — «погреб», то есть подвал или яма для хранения припасов. Погребней могли называть человека, который строил погреба, следил за ними или владел большим хозяйством с запасами. В украинском языке слово «погребня» могло означать и само помещение, и человека, при нём состоящего. Так что первый носитель фамилии, скорее всего, был не просто крестьянином, а имел отношение к заготовке и хранению продуктов — должность ответственная и уважаемая в деревне.

В пользу украинской версии говорит и типичный для тех мест суффикс -ня, который часто превращает название места или занятия в фамилию. Сравните: Ковальня (от коваль — кузнец), Мельня (от мельник). В русском языке подобная модель встречается реже, чаще используют суффиксы -ов/-ев. Поэтому география фамилии Погребня — это прежде всего Украина, а также южные области России, куда переселялись украинцы: Курская, Воронежская, Ростовская области, Краснодарский край.

Есть и менее вероятная, но любопытная версия: прозвище Погребня мог получить человек угрюмый, скрытный, «живущий в погребе», то есть нелюдимый. Однако для фамилий, образованных от профессий, такая метафора — редкость, и первое объяснение выглядит убедительнее. В любом случае, фамилия Погребня — один из немногих примеров, когда словообразовательная модель почти не оставляет сомнений: перед нами украинская фамилия по занятию, а не по имени отца.