Фамилия Полумиева — яркий пример того, как русская фамилия может быть построена не на имени или профессии, а на бытовом прозвище, отражающем внешность или манеру поведения. Корень здесь — «полумиг» или «полумга», что в старых говорах означало человека с прищуром, с полузакрытыми глазами, того, кто смотрит «вполглаза», щурится. Основа «миг» в данном случае не про время, а про движение век: «мигать», «смотреть прищурясь». Такой человек мог казаться хитроватым, недоверчивым или просто близоруким, но прозвище закреплялось за ним в быту.

Суффикс -ев указывает на стандартную патронимическую модель: Полумиев — сын Полумига. Форма на -ева — женский вариант, но в современном употреблении это уже фамилия, а не отчество. В отличие от фамилий на -ин, которые чаще образуются от основ на -а/-я, здесь мы видим типичный для русских фамилий переход от прозвища на твердый согласный.

Интересно, что фамилия эта редкая и локальная. В исторических документах она почти не встречается в центральных губерниях, зато есть в северных и северо-восточных областях, где диалектное слово «полумга» было в ходу. Вологодская, Архангельская, Вятская губернии — вот вероятный ареал возникновения. В этих краях прозвища, данные по внешним приметам, особенно «глазным», были распространены: Полумиг, Щур, Косой, Прищуркин.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Мигаев, Мигунов, Полумигов — показывает, что Полумиева стоит особняком. Форма на -ев при основе на -иг — нестандартна, что говорит о возможном смешении говоров или о том, что исходное прозвище звучало как «Полумиг», а не «Полумига». Если бы основой было «Полумига», фамилия была бы Полумигин.

Таким образом, предки носителей фамилии Полумиева — это, скорее всего, крестьяне северных регионов России, получившие прозвище за характерную привычку щуриться. Никакого отношения к «полумиру» или «полуместу» эта фамилия не имеет — это чисто народное, звукоподражательное и наглядное прозвище.