Фамилия Полянмкий, скорее всего, содержит опечатку или является диалектным искажением. Правильное написание, которое вы ищете, — Полянский (или Поляньский, Полянский). Если же в вашем документе написано именно «Полянмкий», то это, вероятно, ошибка писаря или неверное прочтение буквы «с» как «м» (в скорописи и рукописных текстах XIX века эти буквы часто путали). В любом случае, разбирать мы будем фамилию Полянский — самую частую и логичную форму.

Фамилия Полянский — типичный пример «географической» фамилии, образованной от названия населённого пункта. В основе лежит слово «поляна» — расчищенное от леса место, пригодное для земледелия или пастбища. Суффикс -ск- указывает на связь с местностью: Полянский — значит «тот, кто родом из Полян» или «житель Полян». Таких деревень, сёл и хуторов с названием Поляны, Полянка, Полянское в России, Украине и Белоруссии — сотни. Поэтому фамилия широко распространена и не привязана к одному региону.

Словообразовательная модель проста: к топониму (Поляны) добавили суффикс -ск- и окончание -ий. Это «княжеский» или «дворянский» способ образования фамилий, но на практике он стал массовым у духовенства (семинарские фамилии) и у крестьян после отмены крепостного права, когда целым деревням давали фамилии по названию их села. Поэтому Полянский мог быть и сыном священника, и крестьянином из села Поляны.

Вторая, менее распространённая версия — происхождение от нецерковного имени или прозвища Полянка. Так могли назвать человека, жившего на краю поля или на опушке, на «поляне», в отличие от тех, кто жил в чаще или в болоте. Однако эта версия слабее: прозвища от ландшафта обычно давали по яркой особенности (например, «Лесной»), а не по нейтральному «поляна». Гораздо вероятнее, что фамилия — топонимическая.

Обратите внимание на вариант Поляньский (с мягким знаком). В польской и западнорусской традиции (на территории бывшей Речи Посполитой) суффикс -sk- часто смягчался, и фамилия писалась как Polański. После перехода в русскую канцелярию мягкий знак могли сохранить (Поляньский) или убрать (Полянский). Если ваши предки родом из западных губерний (Смоленская, Могилёвская, Витебская) или из Польши, то исходная форма — Polański, что означает то же самое: «из Полян».

Итог: фамилия Полянский (и её вариант Полянмкий как ошибка) — это указание на место жительства предков. Они жили в селении с названием, производным от слова «поляна». Социальный статус мог быть любым: от крестьянина до дворянина, но чаще всего — крестьяне или однодворцы (в южных губерниях) или духовенство (в северных и центральных).