Фамилия Полыгаева — женская форма мужской фамилии Полыгаев. Её основа — прозвище Полыгай, которое, скорее всего, происходит от глагола «полыгать» — то есть лгать, обманывать, говорить неправду. В русских говорах это слово было широко распространено, особенно в южных и центральных областях. Таким образом, первый носитель прозвища мог быть человеком, склонным к хвастовству или неискренности, либо, наоборот, тот, кого так дразнили в шутку за склонность приукрашивать.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: суффикс -ев присоединился к основе на -ай (Полыгай → Полыгаев). Такая модель характерна для фамилий, образованных от прозвищ с окончанием на -ай, -яй (например, Болтай → Болтаев, Лентяй → Лентяев). Интересно, что фамилия Полыгаев встречается реже, чем, скажем, Полуянов или Полетаев, что делает её более локальной и редкой.

Географически фамилия тяготеет к Поволжью и Уралу, что подтверждается данными переписей и списков населённых пунктов. Встречается она и в Сибири, куда переселенцы принесли её в XIX веке. Можно предположить, что предки Полыгаевых были крестьянами или посадскими людьми, так как прозвища, связанные с бытовыми чертами характера, чаще всего давались именно в этих сословиях.

Есть и менее вероятная, но возможная версия: связь с диалектным словом «полыга» — так в некоторых говорах называли ленивого или нерасторопного человека. Однако основной глагольный корень «лгать» надёжнее и подтверждается словарями. В любом случае, фамилия Полыгаева — яркий пример того, как живая разговорная речь закрепилась в официальном именовании несколько веков назад.