Фамилия Попадинеь — редкий случай, когда ошибка в одной букве может полностью изменить историю поиска. Скорее всего, вы ищете фамилию Попадинец, которая имеет прозрачную этимологию, но в написании «Попадинеь» (с мягким знаком на конце) мы имеем дело либо с опечаткой, либо с крайне нетипичным для русской ономастики окончанием. В русских фамилиях окончание «-еь» не встречается; мягкий знак на конце мог появиться в результате искажения при переписи или в диалектной записи, где «ц» звучало смягчённо. Если же это не ошибка, а исконная форма, то она может быть украинского происхождения — в украинском языке суффикс «-ець» даёт на конце мягкий звук, и при адаптации в русских документах его могли записать как «-еь», но это маловероятно и не зафиксировано в словарях.

Исходная фамилия Попадинец образована от прозвища Попадинец — «сын попадьи», то есть сын священника. Основа «попадья» (жена попа) плюс суффикс принадлежности «-ин-» и типичный для украинских и южнорусских фамилий суффикс «-ец», указывающий на происхождение или место. Такая модель характерна для фамилий, которые давали детям по матери, особенно в семьях духовенства, где статус попадьи был заметен в общине. В отличие от фамилий на «-ов» или «-ев», которые чаще указывали на отца (Попов), форма на «-инец» подчёркивает именно материнскую линию или принадлежность к дому попадьи.

Если ваша фамилия действительно Попадинеь, а не опечатка, то единственное правдоподобное объяснение — это результат искажения при записи в советских паспортных столах или в дореволюционных метриках, когда писарь на слух записал «Попадинец» как «Попадинеь», а потом ошибка закрепилась в документах. В таком случае ваши предки — выходцы из южных областей России или Украины, где фамилии на «-ец» (Попадинец, Деминец, Иванец) были распространены среди крестьян и казаков, а также среди низшего духовенства. Проверьте по архивам или семейным документам: если в старых записях встречается вариант с «ц», то это и есть исходная форма.