Фамилия Постойкина — женская форма от Постойкин, и её разумнее всего разбирать, отталкиваясь от нестандартного суффикса. Если бы фамилия звучала как Постойков, корень «постой-» указывал бы на прозвище от слова «постой» (военный постой, постоялец) — человека, который держал постоялый двор или часто принимал постояльцев. Но суффикс -кин меняет дело.

Суффикс -ин в русских фамилиях стандартно присоединяется к основам на -а/-я: от имени или прозвища Ива́н — Ива́нов, но от Ива́ня — Ива́нин; от Кузьма́ — Кузьми́н. Суффикс -к- в основе «Постойк-» — это уменьшительно-ласкательный или уничижительный формант, характерный для обиходных имён и прозвищ. То есть исходное прозвище звучало не «Постой», а «Постойка» (как Ванька, Петька, Митька). «Постойка» — человек, которого так прозвали за связь с постоем: либо мальчик на побегушках при постоялом дворе, либо несерьёзный, «постойный» человек, которого в быту называли с пренебрежением или фамильярностью.

Географически фамилия редкая. В дореволюционных переписях и современных базах она встречается точечно, в основном в центральных и северных губерниях России — там, где была развита ямская и постоялая служба. Встречается и вариант Постайкин, что может говорить о диалектном произношении (аканье) или о смешении с глаголом «постаять» (постоять). Но корень «постой» остаётся основным.

Социальный контекст: носитель фамилии Постойкин, скорее всего, происходил из крестьян или мещан, чья жизнь была связана с дорогой, трактом, постоялыми дворами. Дворянская фамилия с таким просторечным суффиксом маловероятна. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) модель на -кин/-ка разбирается как типичная для неофициальных прозвищ, которые закреплялись в документах, если человек был известен в своей общине именно под этим уменьшительным именем.

Таким образом, Постойкина — это «дочь или жена Постойки», того самого «постояльца» или содержателя постоялого двора, которого в деревне звали не иначе как Постойка. Фамилия прямая, без затей, но с неочевидным суффиксом, который выдает её обиходное, а не канцелярское происхождение.