Фамилия Потеюк — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия, а вполне конкретное физическое действие. Это типичная украинская фамилия, образованная по модели, популярной на западе и в центре Украины: глагольная основа плюс суффикс -юк. Суффикс -юк в украинской ономастике выполняет ту же роль, что русские -ов и -ин — указывает на потомка или принадлежность: «сын Потея» или «тот, кто из рода Потій».

Основа — глагол «потіти» (поте́ть). Прозвище Потій (или Потійко) давали человеку, который много и заметно потел. В крестьянском быту это могла быть не обидная, а описательная черта: работяга, который не щадит себя в поле, у печи или в кузнице. Пот выступал как видимый признак тяжёлого труда — в отличие от ленивого или сидячего человека. Поэтому Потеюк, скорее всего, потомок не просто вспотевшего, а усердного работника.

Словообразовательная цепочка простая: глагол «потіти» → прозвище Потій → фамилия Потеюк. Переход «о» в «е» (Потій → Потеюк) — естественный для украинских говоров, где после мягкого согласного звук [о] в некоторых позициях сдвигается к [е] (ср. «піч» — «печи»). Встречаются и варианты написания: Потіюк, Потяюк — но Потеюк закрепился как основной.

Географически фамилия тяготеет к Волыни, Подолью и западным областям Украины. По данным переписей, Потеюки встречаются в Ровенской, Хмельницкой и Тернопольской областях. В России фамилия единична — её принесли переселенцы в XX веке. Сословно это почти наверняка крестьянская фамилия: дворянских родов Потеюк не зафиксировано, что подтверждает её «трудовое» происхождение.

Сравните с однокоренными: Потеха (от поте́ть, но с другим оттенком — «тот, кто забавляет»), Потька (уменьшительное от того же корня). Потеюк стоит особняком — здесь нет игры или насмешки, только прямая связь с потом и работой. Если вы носите эту фамилию, ваши предки были людьми, которые не боялись тяжелого физического труда — и их это не смущало.