Фамилия Потягаев — яркий пример того, как прозвище, данное за характер или поведение, превратилось в родовое имя. В основе лежит глагол «потягать» или «потягивать». В старину «потягать» означало «тянуть, волочить, тащить», а в переносном смысле — «медлить, тянуть время», «заставлять ждать». Человека, который постоянно копался, не торопился или, наоборот, тянул на себя что-то чужое, могли прозвать Потягаем. От этого прозвища и пошла фамилия через стандартный русский суффикс -ев (после мягкого согласного «й» в основе).

Словообразовательная модель здесь прозрачная: основа «потягай» (повелительное наклонение или имя деятеля) плюс суффикс принадлежности -ев. Это типичная «прозвищная» фамилия, каких много в русском языке: Молчанов, Говоров, Шептунов. В отличие от фамилий на -ов, образованных от имен или профессий, Потягаев прямо указывает на бытовую черту предка. Интересно, что в некоторых говорах «потягай» могло означать и «сутяжник» — человек, который любит тягаться, судиться, спорить. Так что возможны два смысловых полюса: либо медлительный, либо скандальный.

Географически фамилия редкая. По данным переписей, она встречается в основном в центральных и южных областях России: в Воронежской, Ростовской, Волгоградской областях. Есть немногочисленные носители в Сибири, куда фамилия могла попасть с переселенцами. Вариант написания с «ё» (Потягаёв) встречается, но не является нормативным — в паспортах и документах обычно пишут через «е».

Сравнение с однокоренными фамилиями (Потягин, Потягалов, Потягушкин) показывает, что Потягаев — самая прямая форма, без дополнительных суффиксов уменьшительности или принадлежности. Она не указывает на сословное происхождение: прозвище Потягай мог получить и крестьянин, и ремесленник, и даже мелкий служилый человек. В дворянских родословных книгах эта фамилия не зафиксирована, что подтверждает её народное, бытовое происхождение.