Фамилия Приступов образована от прозвища Приступ. В русском языке слово «приступ» имело несколько значений, и каждое из них могло лечь в основу фамилии. Самое вероятное — военное: «приступ» означал штурм, атаку крепости или укрепления. Прозвище Приступ могли дать отчаянному, напористому человеку, который первым шёл на приступ, или, наоборот, тому, кто умело оборонялся от приступов. В этом случае фамилия несёт оттенок храбрости и боевого духа.

Другое значение слова — медицинское, «приступ болезни». Так могли прозвать человека, страдавшего падучей (эпилепсией) или другой болезнью с внезапными припадками. В народе такие прозвища давали без жестокости, скорее как констатацию заметной особенности. Третье, более редкое значение — диалектное: в некоторых говорах «приступ» означал ступеньку, приступку у крыльца или порога. Тогда прозвище мог получить низкорослый человек или тот, кто жил у самого входа.

Фамилия построена по стандартной патронимической модели: основа «Приступ» плюс суффикс принадлежности -ов, указывающий на «сына Приступа» или «человека из рода Приступа». Суффикс -ов — самый распространённый в русских фамилиях, он типичен для центральных и северных регионов России. Однокоренные фамилии — Приступ, Приступкин, Приступовский — встречаются реже, что делает «Приступов» относительно редкой, но прозрачной по смыслу фамилией.

Географически фамилия не привязана к одной местности, но чаще встречается в областях, где были крепости и остроги: на юге России, в Поволжье и на Урале. В дворянских родословных книгах фамилия не зафиксирована — её носителями были, скорее всего, крестьяне, казаки или посадские люди, получившие прозвище за характер или внешность.