Фамилия Рычихин в основе своей имеет прозвище Рычиха. Оно восходит к глаголу «рычать», который в старых говорах означал не только звериный рёв, но и человеческую манеру говорить — «кричать с раздражением, громким, низким и густым голосом». Так могли прозвать человека раздражительного, громкоголосого, не умеющего сдерживать эмоции и склонного к ссорам. Потомки такого обладателя прозвища со временем и получили фамилию Рычихин.

Словообразовательная модель здесь прозрачна и характерна для северорусских и уральских фамилий. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Рычихин — это «сын Рычихи». Но важно, что само прозвище имеет форму женского рода. В русской антропонимии так нередко называли мужчину: либо в насмешку, либо по особенности поведения, которую сравнивали с «бабьей» манерой кричать. Подобные случаи, когда мужское прозвище оформляется по женскому типу, встречаются в документах XV–XVII веков, и фамилии от них — Рычихин, Говорухин, Кричихин — стоят в одном ряду.

Фамилия эта довольно редкая, и её география бытования — преимущественно Поволжье и Урал, где суффикс -их(а) в прозвищах был особенно живуч. В отличие от более распространённых фамилий на -ов/-ев, которые чаще встречаются в центральной России, формы на -их/-ых и их производные — верный маркер северного или восточного происхождения предков.

В словарях русских фамилий, например у Б. Унбегауна, подобные модели описаны как типичные для прозвищ, образованных от глаголов звучания. Рычиха — не исключение: в основе лежит не имя, не ремесло, а яркая поведенческая черта, которая сразу бросалась в глаза окружающим. Такие прозвища давались не в обиду, а как меткая характеристика, и со временем она закреплялась за родом.

Отдельно стоит сказать о написании. Встречается вариант Рычихин с буквой «ы» в корне, что полностью соответствует произношению и народной этимологии. Иногда фамилию путают с Рычков или Рычагов, но это разные основы: там корень связан с глаголом «рычать» иначе, без посредничества женского прозвища. Рычихин же — редкий случай, когда фамилия сохранила промежуточную ступень — прозвище матери или жены, что делает её особенно интересной для семейной истории.