Фамилия Рычина — типичный пример «матронима», то есть фамилии, образованной от женского имени. В основе лежит имя Рыча — уменьшительная форма от редкого канонического имени Ирина или от просторечного Арина. В русской традиции суффикс -ин указывает на принадлежность: Рычина буквально значит «дочь (или жена) Рычи». Такие фамилии давали, если в семье главой была женщина — например, вдова, воспитывавшая детей одна, или если отец умер рано, а мать оставалась кормилицей.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная: основа могла быть прозвищной. В северных и сибирских говорах «рычать» означало «ворчать, брюзжать, издавать грубый звук». Прозвище Рыча могли дать человеку с хриплым голосом или сварливому, недовольному. Однако если бы фамилия пошла от прозвища мужчины, мы бы ждали форму Рычин — с ударным первым слогом. А Рычина (с ударением на второй слог) закрепилась именно как матроним.

По географии фамилия нешироко, но устойчиво встречается в Поволжье и на Урале — в Пермской, Вятской, Казанской губерниях. Там в XIX веке было много семей, где детей записывали по матери, особенно в среде государственных крестьян и однодворцев. Сравните с однокоренными: Рычков, Рычов — те уже от мужского имени Рычко (тоже уменьшительное от Ирина, но с суффиксом -ко). Рычина стоит в ряду таких же матронимов, как Анисина, Марьина, Татьянина — все они хранят память о конкретной женщине, которая в своё время вела дом и хозяйство.

В словарях русских фамилий Рычина не фигурирует, но её разбирают в региональных ономастических работах как пример «женской» модели словообразования, характерной для севернорусского и уральского ареала.