Фамилия Рычкина — женская форма, а мужская, Рычкин, образована по самой распространённой в русском языке модели: от прозвища или имени, оканчивающегося на согласный, с помощью суффикса -ин. То есть основа — слово «Рычка» или «Рычко». Вопрос в том, что именно значило это прозвище.

Самая прямая версия отсылает к глаголу «рычать». Рычкой в народе могли прозвать человека с грубым, низким голосом, ворчуна или того, кто часто сердито огрызался. В говорах «рычка» также означала «крикливый, бранчливый человек». Такое прозвище давали не столько за злость, сколько за манеру говорить резко и громко. Эта версия правдоподобнее других, потому что прозвища по голосу и поведению — один из самых древних и частых источников русских фамилий.

Менее очевидный, но возможный вариант — связь с диалектным словом «рычка» в значении «веревка» или «привязь». В некоторых южнорусских говорах так называли толстую бечеву или ремень, которым привязывали скот. В этом случае прозвище могло достаться пастуху, конюху или просто человеку, который чем-то напоминал такую веревку — например, был долговязым и худым. Однако эта версия слабее: прозвища по орудиям труда встречаются реже, чем по личным качествам.

Стоит обратить внимание на суффикс -ин, а не -ов. Он указывает на принадлежность: Рычкин — буквально «сын Рычки». Такая форма характерна для прозвищ, а не для крестильных имён: если бы в основе было каноническое имя (вроде Родион), фамилия скорее звучала бы как Родионов. Значит, предок носителя фамилии был известен именно под прозвищем Рычка.

Встречается фамилия преимущественно в центральных и южных регионах России, особенно в бывших Курской, Орловской и Воронежской губерниях. В этих местах слово «рычка» в значении «ворчун» было в ходу, что лишний раз подтверждает первую версию. В документах XVIII–XIX веков можно найти крестьян и мещан с этой фамилией — дворянских родов Рычкиных не зафиксировано, так что фамилия сугубо народная, без аристократического фона.