Фамилия Рыкачева образована от мужской формы Рыкачев, а та, в свою очередь, — от прозвища Рыкач. Основа здесь — древнерусский глагол «рыкать», то есть издавать громкие, отрывистые звуки, похожие на звериный рык или резкий крик. В говорах слово «рыкач» могло относиться к человеку с громким, грубоватым голосом, крикуну или тому, кто «рыкает» в споре. В некоторых областях так называли и животных, например, быка-производителя, но к человеку это прозвище прилагалось скорее по поведению.

Суффикс -ев (вместо более частого -ов) указывает на старую притяжательную модель: Рыкачев буквально значит «сын Рыкача» или «человек из рода Рыкача». Такая форма типична для фамилий, образованных от основ на мягкий согласный или шипящий — «рыкач» даёт именно -ев, а не -ов. В этом фамилия Рыкачев схожа, например, с Ткачёвым или Грачёвым.

По сословному происхождению фамилия не знатная. Рыкачевы чаще всего встречались в среде крестьян и мещан центральных и северных губерний России, особенно в Ярославской, Костромской и Вологодской землях. Прозвище Рыкач давали не в качестве оскорбления, а как «уличное» имя, цепкое и запоминающееся, которое потом закрепилось в документах. В писцовых книгах XVI–XVII веков можно найти упоминания крестьян с таким прозванием, но массово фамилия стала оформляться позже, после отмены крепостного права.

В некоторых случаях не исключена связь с диалектным словом «рыкать» в значении «греметь», «стучать» — тогда Рыкач мог быть и прозвищем шумного ремесленника, например кузнеца или мельника. Однако основная, самая прямая версия — голосовая характеристика человека.