Фамилия Сагайдаковы происходит от прозвища Сагайдак, которое носил предок. Это прозвище, в свою очередь, восходит к южнорусскому глаголу «гайдать» — «бегать, шататься, летать», или «гойдать» — «колыхаться, качать». Такая версия связывает прозвище с характером или манерой поведения человека — возможно, непоседливого или суетливого.

Существует и иная точка зрения, выводящая прозвище из тюркских языков. Слово «гайдамак» означало «легкий воин, ратник», а также «разбойник, грабитель». Здесь прозвище Сагайдак могло указывать на род занятий предка — военную службу или участие в вольных отрядах, что было типично для южных земель, где русское и тюркское население жило бок о бок.

Наиболее известным носителем этого прозвища был гетман украинских казаков Петр Конанович Сагайдак, руководивший походами против Крымского ханства и Турции. Его слава закрепила за именем воинский, героический оттенок, хотя сам прозвищный корень, вероятно, старше и бытовал в народной среде независимо от гетмана.

Словообразовательная модель фамилии проста и типична для русского ономастикона: к основе Сагайдак добавили суффикс -ов, обозначающий принадлежность. Такую форму получали дети и потомки человека по имени или прозвищу Сагайдак: сначала Сагайдаков сын, затем просто Сагайдаков. По этой же модели образованы тысячи русских фамилий от прозвищ, и Сагайдаковы здесь не исключение.

Точное место и время возникновения фамилии определить сложно — процесс формирования фамилий растянулся на столетия, и в разных регионах он шел с разной скоростью. Однако южнорусское и украинское происхождение прозвища позволяет предположить, что первые Сагайдаковы жили на землях, где славянские и тюркские влияния переплетались особенно тесно.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, что основа Сагайдак не получила массового распространения. Встречаются также формы Сагайдаченко, Сагайдачный, но они локальны. Это говорит о том, что прозвище не было повсеместным, а бытовало в определенной среде — вероятно, казачьей или военной, где ценились такие качества, как подвижность и удаль.