Фамилия Саухин происходит от личного имени Сауха, которое восходит к древнетюркскому мужскому имени Саук. Это имя не затерялось в веках — оно попало даже в «Поучение Владимира Мономаха», где князь вспоминает, как вместе с черниговцами и своими половцами взял в плен князей Асадука и Саука на Десне. Упоминание в летописном источнике делает имя не абстрактным, а вполне конкретным: его носил половецкий хан, реальный противник и пленник русского князя.

Основа имени — тюркское слово «саук», то есть «холодный». Но называли так не для того, чтобы пожелать ребёнку зябкости. Скорее всего, имя Сауха было обрядовым: его давали мальчику с надеждой, что он вырастет бесстрашным воином, человеком, которого не берёт ни холод, ни страх. Такая практика — давать имя-оберег, называя желаемое через противоположное или через качество, — была распространена у многих народов, и тюркская традиция здесь не исключение.

Словообразовательная модель фамилии проста и прозрачна: суффикс -ин указывает на принадлежность, то есть Саухин — это «сын Саухи», потомок человека с таким именем. В русской ономастике этот суффикс — один из самых частых при образовании фамилий от личных имён, оканчивающихся на -а или -я, и Саухин следует тому же правилу, что и, скажем, Митин или Петин.

Интересно, что фамилия сохранила именно форму Саухин, а не, например, Сауков. Это говорит о том, что в основе лежала уменьшительная или обиходная форма имени Сауха, а не полная Саук. Такое «опрощение» имени в бытовой речи — обычное дело: полное имя использовалось в официальных ситуациях, а в семье и среди своих звучало более короткое и привычное.

Стоит добавить, что имя Саук бытовало не только в половецкой среде. Оно встречалось и у других тюркских народов, а через них могло попадать в русские земли вместе с крещёными выходцами из степи или через смешанные браки. Поэтому носители фамилии Саухин могут иметь предков как среди тюркского населения, так и среди русских, принявших имя от соседей или союзников.

Если говорить о географии, то фамилия Саухин не привязана к какому-то одному региону России, но чаще встречается в областях, где исторически был контакт с тюркскими народами, — в Поволжье, на юге, в Сибири. Однако точной статистики по распространению нет, и утверждать что-то определённое здесь было бы гаданием.

В целом же фамилия Саухин — редкий пример того, как древнее степное имя, попав в русскую языковую среду, обросло привычным славянским суффиксом и стало полноценной русской фамилией. За ней стоит не только конкретный человек с холодным именем, но и целая эпоха контактов Руси с кочевым миром.