Фамилия Сауша — редкий случай, когда географический след почти наверняка перевешивает все остальные версии. Её основа — не славянское прозвище и не крестильное имя, а литовское слово šaušys (или диалектное saušas) — «пучок соломы», «сноп», а также «человек с жёсткими, торчащими волосами» или «соломенная шляпа». В польском языке есть параллельная форма sausza с тем же значением «связка», «пучок». Так что носитель фамилии Сауша — это, скорее всего, потомок литовца или жителя пограничных с Литвой земель (современные Беларусь, Подляшье, Жемайтия), которого прозвали за внешность или род занятий.

Словообразовательная модель здесь нестандартная для русской фамилии. Суффиксы -ов/-ев или -ин отсутствуют, а окончание -а указывает либо на западнославянское влияние (сравните польские фамилии вроде Sausza), либо на то, что фамилия закрепилась в форме прозвища без патронимического суффикса. В русской среде такое встречается редко и обычно выдает невеликорусское происхождение: Сауша — это не «чей-то сын Сауши», а сам человек, которого так окрестили. В документах XIX века подобные фамилии чаще всего фиксировались у крестьян и мещан западных губерний.

Вторая, менее вероятная версия отсылает к балтийскому корню saus- — «сухой». Тогда прозвище могло означать «сухощавый», «худой» человек. Но конкретное значение «сноп» или «пучок соломы» подтверждается литовскими говорами и выглядит правдоподобнее: солома — бытовая реалия, которая легко даёт прозвище крестьянину, работающему с ней или напоминающему её видом.

Спорных гипотез, вроде связи с финно-угорскими языками или искажённым еврейским именем, лучше избегать — они не подкреплены ни географией бытования фамилии, ни данными словарей. Сауша — это балтийский след на карте русских фамилий, и он довольно прозрачен: от литовского «снопа» до прозвища предка, который либо вязал снопы, либо ходил в соломенной шляпе.