Фамилия Саванков — одна из тех, где ясна словообразовательная модель, но неочевидна исходная основа. Разберёмся по порядку.

Суффикс -ов указывает на типичную русскую патронимическую модель: Саванков — это «сын Саванка». А вот Саванок — это уже уменьшительная или обиходная форма от какого-то личного имени. Вопрос: от какого именно?

Самая прямая и правдоподобная версия — от канонического имени Савва (краткая форма Сава). В русской народной традиции к основе Сав- легко добавляли уменьшительный суффикс -ан(ок): Саванок, то есть «маленький Савва» или «Сава, сын Саввы». Фамилии Саввин, Савин, Савков, Савенков широко известны, и Саванков встаёт в этот же ряд. Унбегаун в своём словаре русских фамилий относит подобные образования к продуктивным моделям от имён на -а.

Есть и менее вероятная версия — от прозвища Саван, связанного со словом «саван» (погребальная одежда). Но эта гипотеза слабая: прозвище «Саван» вряд ли было бы распространённым и охотно давалось детям, а уменьшительная форма «Саванок» от такого прозвища выглядит натяжкой. Поэтому лингвисты предпочитают версию с именем Савва.

Географически фамилия встречается в разных регионах России, но заметна её концентрация в центральных областях и Поволжье, что типично для фамилий, образованных от распространённых крестильных имён. Сословных ограничений не было: Саванковыми могли быть и крестьяне, и мещане, и духовенство (имя Савва часто давали в церковной среде).

В итоге: предок носителя фамилии Саванков, скорее всего, звался Саванок — уменьшительное от Савва. Фамилия звучит на слух как вполне обычная русская, без редких диалектных черт, и её значение прозрачно: «потомок Саванка».