Фамилия Саваш — редкий пример, где исходное слово почти не изменилось, перейдя в фамилию. В русской среде она явно не местная, а пришлая: её основа — тюркское мужское имя Саваш. В татарском, башкирском и чувашском языках Саваш (вариант Саваш, Сабаш) восходит к слову со значением «ребёнок» или «дитя» — так в некоторых тюркских говорах называли младшего, позднего сына. Другая версия, менее распространённая, выводит имя из глагольной основы со значением «любить, ласкать»; в этом случае Саваш — ласкательное прозвище вроде «любимчик».

Фамилия оформлена по русской модели: основа Саваш плюс нулевой суффикс. Она не получила типичных «-ов», «-ин» или «-ский», что необычно для фамилий из тюркских имён. Такая форма могла закрепиться, если носитель попал в русскую среду поздно, уже в XIX или начале XX века, и фамилию записали без дополнительной русификации — так, как её произносили. Встречается она в основном у татар, чувашей и башкир, а также у русских, предки которых жили в смешанных с тюрками областях — в Поволжье, Приуралье, на юге Западной Сибири.

По суффиксу и отсутствию родовых окончаний фамилия Саваш стоит в одном ряду с такими же «чистыми» тюркскими основами, как Абаш, Батырш, Тукташ. В XIX веке, при массовой фиксации фамилий у нерусского населения Казанской и Уфимской губерний, часть имён оставили без изменений — вероятно, из-за того, что писарь не знал, как применить русский суффикс, или сам носитель настаивал на исходной форме. Так Саваш и остался Савашем — без лишних наслоений.