Фамилия Савелькаева — женская форма фамилии Савелькаев, которая образовалась от имени Савелька. Савелька — это народная, разговорная форма крестильного мужского имени Савелий (от латинского sabinus — «сабинянин», то есть житель Сабинской области). Такой тип образования — с помощью уменьшительно-ласкательного суффикса -к(а) — был очень распространён в русской деревне: от полного имени делали бытовое, домашнее прозвище, которое потом закреплялось за потомками. В данном случае основа Савель- плюс суффикс -к- дала форму, которая легла в основу фамилии.

Интересная деталь: суффикс -к(а) в основе Савелькаева — не фамильный, а лично-именной. Фамилия же построена по стандартной модели русского Севера и Поволжья: сначала возникло отчество Савелькаев («сын Савельки»), а затем оно перешло в фамилию. Обратите внимание на ударение: в фамилии оно, скорее всего, падает на второй слог — Саве́лькаева, хотя в исходном имени Саве́лий ударение на втором слоге, а в форме Саве́лька — тоже на втором. Такое ударение типично для фамилий, образованных от полных форм с суффиксом -к-.

Географически фамилия Савелькаев (и Савелькаева) тяготеет к регионам, где была сильна традиция образования фамилий на -ев от имён на -а/-я. Это характерно для Пензенской, Тамбовской, Нижегородской областей, а также для Поволжья в целом. В отличие от более распространённых Савельевых (от формы Савелий), Савелькаевы встречаются реже — это указывает на более узкое, местное бытование прозвища Савелька.

Социальный контекст: фамилии на -ев от уменьшительных форм чаще всего носили крестьяне и посадские люди, а не дворяне. В документах XVII–XVIII веков крестьян часто записывали не по полному имени, а по уличному прозвищу или уменьшительному имени, которое и закреплялось за родом. Так что предки носителей фамилии Савелькаева с высокой вероятностью были крестьянами или ремесленниками, и их родоначальника в быту звали Савелька — неофициально, по-свойски.