Фамилия Савелкина образована от мужского имени Савелка. Это разговорная, народная форма церковного имени Савел (от древнееврейского «шауль» — «выпрошенный, испрошенный у Бога»). В русском языке имена на -л часто обрастали уменьшительными суффиксами: Савел превращался в Савелку, как Павел — в Павлушу или Павлюту. Суффикс -к- в данном случае не столько уменьшительный, сколько обиходный, характерный для простонародной, неофициальной среды. Фамилия на -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Савелкин, то есть сын или потомок Савелки.

Стоит различать: фамилия Савелкина не имеет отношения к слову «савка» (птица или уменьшительное от Савва). Основа здесь — именно Савел, а не Савва. В говорах и при переписи населения могли путать, но корень у фамилии свой. Если встретится вариант Савелкин с ударением на последний слог — это та же самая фамилия, просто диалектное произношение.

Географически фамилия тяготеет к центральным и северным регионам России, где имя Савел было в ходу у крестьян и посадских людей. В южных и западных губерниях чаще встречались формы от Савва. Савелкины не принадлежали к дворянству — это фамилия крестьянского или мещанского сословия, возникшая не раньше XVI–XVII веков, когда у простых людей начали закрепляться родовые прозвания.

В современном употреблении фамилия редкая. Если вы ищете её носителей, стоит обратить внимание на Вологодскую, Костромскую и Нижегородскую области — там она фиксируется в метрических книгах XIX века. Вариант с окончанием -а (Савелкина) — женская форма, но в быту так могут называть и мужчину в неофициальном общении, хотя по паспорту у мужчин будет Савелкин.