Фамилия Сланский — одна из тех, где значение упирается в омонимию корня, и без географической привязки не обойтись. Скорее всего, её основа — топоним, а не нарицательное слово «сланец» (горная порода). В русской ономастике фамилии на -ский традиционно образовывались от названий населённых пунктов: деревень, сёл, усадеб. Следовательно, предок носителя фамилии был либо владельцем такого места, либо, что чаще, выходцем из него.

Где искать эти места? На карте России и Украины встречаются поселения с корнем «Слан-»: например, село Сланово в Белгородской области или хутор Сланский в Ростовской. Но самый вероятный источник — польские и белорусские земли, где фамилии на -ский особенно распространены. Там есть деревня Сланец (Słaniec) или Сланово, и человек, переехавший оттуда, получал прозвание «Сланский» — то есть «тот, кто из Сланца».

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с глаголом «слать» (посылать). В древнерусских говорах «сланный» могло означать «посланный, отправленный с поручением». Однако такая основа редко даёт фамилию с суффиксом -ский; обычно от глаголов образуются фамилии на -ов/-ев (Сланцев, Посланов). Поэтому версия с географическим названием выглядит правдоподобнее.

Суффикс -ский указывает на дворянское или шляхетское происхождение лишь в историческом контексте XVI–XVII веков. В более позднее время, особенно после отмены крепостного права, такую фамилию могли получить и крестьяне, и мещане — просто по названию родной деревни. Церковные служители при записи фамилий тоже часто использовали модель на -ский, чтобы придать фамилии «благородное» звучание.

Фамилия редкая, в списках частотных русских фамилий не встречается. Её носители разбросаны по разным регионам, что говорит о позднем и независимом возникновении в нескольких местах сразу. Если ваши предки — из западных областей России или Беларуси, версия с польским или литовским топонимом наиболее вероятна.