Фамилия Солодкии — редкий случай, когда написание сразу подсказывает путь к разгадке. Окончание «-ии» вместо привычного «-ий» выдает не случайную опечатку, а старую форму родительного или предложного падежа, застывшую в фамилии. Чаще всего такую фиксацию получали прозвища или именования на «-ой» в северных и сибирских говорах, где в документах писали «Солодкого», а со временем буква «о» перешла в «и» под влиянием аканья или просто при переписи. Однако в данном случае мы имеем дело с основой «солодк-», которая напрямую связана с прилагательным «солодкий» — диалектным вариантом слова «сладкий».

Корень здесь — «солод», тот самый, что дал название солоду (пророщенному и высушенному зерну для пивоварения и кваса). Но прозвище Солодкой или Солодкий вряд ли давали пивовару: в русских говорах «солодкий» значило «ласковый, приветливый, милый». Так могли назвать человека с мягким характером, сладкоречивого или просто любимца в семье. В некоторых областях слово сохраняло и прямой вкусовой смысл — «сладкий на вкус», но как прозвище оно почти всегда указывало на свойство личности, а не профессию.

Модель образования типична для русских фамилий: от качественного прилагательного через суффикс притяжательности. Если бы фамилия писалась через «-ов» (Солодков), она указывала бы на сына человека по прозвищу Солодкой. Форма Солодкии — это, скорее всего, поздняя трансформация исходного Солодкий, где окончание «-ий» под влиянием церковнославянской или книжной традиции перешло в «-ии» (как в фамилиях Благих, Толстых, но с другим падежом). Встречается такая запись в старых метрических книгах центральных губерний, особенно у однодворцев и государственных крестьян.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Солодков, Солодкий, Солодких) показывает, что Солодкии — самая редкая ветвь. Если Солодковых много по всей России, то Солодкии — локальное явление, зафиксированное, по данным современных справочников, преимущественно в Воронежской и Тамбовской областях. Это согласуется с историей заселения: именно в черноземной полосе часто встречались фамилии, оканчивающиеся на «-ых/-их» и их падежные варианты.

Таким образом, предок носителя фамилии Солодкии, скорее всего, получил прозвище за свой сладкий, покладистый нрав, а сама фамилия закрепилась в письменной форме, характерной для южнорусского делопроизводства XVIII–XIX веков. Никакой связи с пивоварением или кондитерским делом здесь нет — только характер человека и местные особенности записи.