Фамилия Старишников образована по продуктивной модели с суффиксом -ов, который указывает на принадлежность: «чей?» — Старишников, то есть сын Старишника. Основа здесь — не напрямую «старик», а прозвище Старишник. В русских говорах «старишник» — не просто старый человек, а скорее человек, который ведет себя по-стариковски: ворчливый, неторопливый, рассудительный не по годам. Встречается и более конкретное значение: так могли называть нищего, живущего подаянием, или же того, кто ходит по домам и просит «на старость». Иногда «старишниками» в ироничном смысле звали молодых, но болезненных или слабых мужчин.

Суффикс -ник в основе типичен для прозвищ по характерному признаку или занятию (сравните: грешник, плотник, охотник). Двойной суффикс -ишн- (стариш-ник) встречается реже, чем просто старик, и придает слову оттенок уничижительности или, наоборот, фамильярности. Это не «старый», а «этакий старикашка» — прозвище могло быть не обидным, а бытовым, шутливым.

Географически фамилия редкая. Основные очаги ее бытования — центральные и северные области России, где сохранились архаичные говоры. Встречается в старых переписях Вологодской и Костромской губерний, реже — на Урале. Сословно это почти наверняка крестьянская или мещанская фамилия: дворянские роды с таким окончанием практически не фиксируются.

Однокоренные фамилии — Стариков, Старцев, Старичков — образованы от той же основы, но с другими суффиксами. Старишников стоит особняком: он не про возраст, а про поведение или социальную роль. Если ваш предок носил это прозвище, он, скорее всего, был не старцем, а человеком с характерной манерой или ремеслом, которое в деревне называли «старишничать» — жить подаянием или прикидываться немощным. Впрочем, не исключен и вариант, что прозвище дали по отцу-старику, но тогда форма была бы Стариков, а не Старишников.