Фамилия «Старникои» — редкий и неочевидный случай, при взгляде на который сразу возникает вопрос об орфографии. Если вы встретили именно такое написание, скорее всего, перед вами не фамилия в её литературной форме, а диалектное или историческое искажение. В русском языке у фамилий на -ой ударение обычно падает на последний слог (Толстой, Донской), а само окончание -ой — это полная форма прилагательного в мужском роде, именительном падеже. Но в фамилии «Старникои» окончание -ои вместо -ой указывает на возможную запись «на слух» в документах, где звук [й] передали буквой «и». Поэтому логичнее всего предположить, что искомая фамилия — Старников или Старнико́й.

Если же отталкиваться от основы «Старник», то перед нами типичная модель прозвища по роду занятий или характерному признаку. Слово «старник» в диалектах (особенно северных и сибирских) могло означать «старый, опытный человек», «старожил», «коренной житель», а также «старец» или «отшельник». В некоторых говорах «старником» называли старый, заросший травой луг или покинутое поле. Таким образом, прозвище Старник мог получить либо пожилой уважаемый человек, либо тот, кто жил на старом месте дольше других, либо даже крестьянин, владевший запущенным участком.

Суффикс -ик в основе указывает на то, что прозвище было образовано от прилагательного «старый» с помощью уменьшительно-ласкательного или характеризующего суффикса. Фамилии на -ов от таких прозвищ — одна из самых распространённых моделей в центральной России. Окончание -ой в варианте Старнико́й (если это не ошибка записи) говорит о том, что фамилия могла быть образована по типу притяжательных прилагательных, характерных для южнорусских и украинских говоров, где «Старнико́й» означало «сын Старника».

Географически фамилия Старников встречается в основном в Поволжье и центральных областях России. Если же ваша фамилия пишется именно как «Старникои», стоит проверить архивные записи — возможно, это описка писаря или особенность местного произношения, закреплённая в паспорте. В любом случае, корень здесь один: предок был человеком, которого называли «старым» — либо по возрасту, либо по давности проживания в данной местности.