Фамилия Стишковой — это женская форма фамилии Стишков, а та, в свою очередь, образована от прозвища или мирского имени Стишок. Разбирать её стоит не с корня, а с суффикса: -ов указывает на принадлежность, то есть Стишков — буквально «сын Стишка». Женская форма на -а — это грамматическая норма, она не меняет смысла, а лишь указывает на пол носительницы.

В основе лежит слово «стих». В русских говорах «стих» или «стишок» могло означать не только поэтическую строчку. В некоторых регионах так называли заговор, наговор, молитву-шепоток. Знахари и знахарки, которые «шептали» от болезней, нередко получали прозвище Стих или Стишок. Соответственно, Стишков — это потомок такого человека. Есть и другая, менее распространённая версия: Стишком могли прозвать грамотея, любителя читать стихи или сочинять их, но в крестьянской среде XVIII–XIX веков это было редкостью, поэтому первая версия выглядит правдоподобнее.

Обратите внимание на редкую модель словообразования. Фамилия образована от уменьшительной формы (Стишок), а не от полного слова (Стих). Такие фамилии встречаются реже, чем образованные от полных прозвищ, и это делает Стишковых немного особенными. Сравните: от прозвища Стих пошли бы Стиховы, а от Стишок — именно Стишковы. Уменьшительный суффикс -ок придаёт прозвищу оттенок либо ласки, либо, наоборот, иронии, но в случае с «заговором» это могло быть нейтральным указанием на занятие.

Географически фамилия Стишков (и Стишкова) встречается в основном в центральных и южных областях России, особенно в Воронежской, Тамбовской и Рязанской губерниях, где были сильны традиции народной медицины и «шептания». Встречается она и на Украине, где слово «стих» также имело значение «заговор». Таким образом, предки носительницы фамилии Стишковой с большой вероятностью были людьми, знавшими народные обряды и словесные практики лечения.