Фамилия Стрекашева — женская форма от Стрекашев, а та, в свою очередь, образована от прозвища или мирского имени Стрекаш. Разбираем слово по косточкам: корень «стрек-» восходит к глаголу «стрекать» — в старых русских говорах это значило «колоть», «жалить», «бодать», а также «подгонять», «торопить» (ср. «стрекач» — быстрый, резвый человек). Суффикс «-аш» — типичный для прозвищ, указывающих на характерное действие или свойство (сравните: лобзать — Лобзаш, крутить — Круташ). То есть Стрекаш — это тот, кто стрекает: либо задира, острый на язык человек, либо, напротив, непоседа, которого самого всё время подгоняют.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с диалектным словом «стрекаш» в значении «овод» или «слепень» (насекомое, которое больно жалит). В этом случае прозвище давали назойливому или язвительному человеку. Оба толкования вращаются вокруг одной смысловой оси — «колкость, резкость, быстрота».

Интересная деталь: фамилия Стрекашев (и её женский вариант) встречается в основном в центральных и южнорусских регионах, особенно в Воронежской, Тамбовской и Рязанской областях. Это не случайно — именно в этих краях слово «стрекать» было особенно употребительно. В северных говорах его вытесняли «колоть» и «жалить», поэтому фамилия там редка.

По модели образования Стрекашев — типичная «патронимическая» фамилия на -ев (суффикс принадлежности к роду). Если бы основа оканчивалась на твёрдый согласный, мы бы получили Стрекашов, но здесь работает правило: после шипящих и «ц» в безударной позиции пишется «-ев», а не «-ов». Сравните: Стрекаш — Стрекашев, но Кузьма — Кузьмичёв.

Что касается сословной принадлежности, Стрекашевы — почти наверняка крестьянская или мещанская фамилия. В дворянских родословных книгах она не значится, а в ревизских сказках XIX века носители чаще всего записаны как государственные или помещичьи крестьяне. Никаких громких исторических фигур с этой фамилией не зафиксировано — и это нормально: большинство русских фамилий именно такие, бытовые, выросшие из прозвищ простых людей.