Фамилия Стрельчик — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, сохранилось почти без изменений, лишь обрастая типичным восточнославянским суффиксом. В отличие от частых Стрельцовых или Стрельниковых, тут мы видим уменьшительно-ласкательный формант -чик. Он в русских фамилиях, как правило, указывает на молодого человека или подмастерья: сын стрельца, ученик стрельца, либо просто человек небольшого роста или младший в роду, носивший прозвище Стрельчик.

Основа прозрачна — «стрел» от слова «стрела». Но вот что стояло за прозвищем, вопрос. Самая прямая версия: предок был стрельцом — служилым человеком «по прибору» в XVI–XVII веках, вооружённым пищалью. Однако фамилия с суффиксом -чик могла возникнуть и позже, когда стрелецкое войско уже упразднили, и тогда в основе лежит не чин, а личное прозвище по сходству: меткий охотник, лучник, или даже человек с острым, как стрела, взглядом.

Надо учитывать и диалектную подоплёку. В некоторых говорах «стрельчик» — это не только маленький стрелок, но и название птицы (например, кулик или зуёк), а также растение (стрелолист). В таком случае фамилия могла закрепиться за человеком, похожим на эту птицу (быстрым, вертлявым) или жившим у воды, где растёт стрелолист.

Географически фамилия тяготеет к западу и юго-западу России, а также к Беларуси и Украине — именно там суффикс -чик в фамилиях особенно продуктивен. Встречается она и у еврейских носителей, где могла быть искусственно образована или переосмыслена как вариант фамилии Стрелец.

Словообразовательная модель проста: прозвище Стрельчик (от «стрелец» или «стрела») плюс нулевой суффикс, то есть фамилия перешла в разряд наследственных имён без дополнительного оформления. В русской традиции такие фамилии на -чик чаще встречаются в украинской или белорусской среде, поэтому не исключено, что предки носителя пришли в великорусские губернии с запада.

В итоге: Стрельчик — либо потомок стрельца на западнорусских землях, либо человек, получивший прозвище за меткость, сходство с птицей или даже за худобу. Точнее скажут только архивные документы конкретной семьи.