Фамилия Сухобай — редкий случай, когда прозвище почти не изменилось при переходе в фамилию. В ней нет типичных фамильных суффиксов вроде -ов или -ин, поэтому она сохранила форму чистого прозвища. Такие «неоформленные» фамилии чаще встречаются на Украине и в южных областях России, где модель фамилий на -ий, -ай, -ей была более распространена.

Основа фамилии составная: «сухо» и «бай». Первая часть — «сухой», в значении худой, тощий или, реже, бесчувственный, скупой. Вторая часть — «бай» — в тюркских языках означает «богач», «господин», «хозяин». На южнорусских и украинских землях, в зоне активных контактов с тюркским населением, слово «бай» могло закрепиться в прозвищах как ироничное обозначение важного, зажиточного человека.

Скорее всего, Сухобаем прозвали человека с заметной внешностью — очень худого, но при этом носившегося с претензией на важность или богатство. В народе таких называли «сухой барин» или «сухой пан», а тюркское «бай» лишь усилило насмешливый оттенок. Менее вероятная, но возможная версия — прозвище по месту жительства у пересохшего ручья или колодца, который в диалектах могли называть «бай» (от тюркского «бай» — богатый, полноводный).

Фамилия редкая, в дореволюционных переписях почти не фиксируется. Встречается в основном на востоке Украины (Харьковская, Сумская области) и в приграничных районах России (Белгородская, Воронежская области). Носители фамилии, вероятно, были из крестьян или казаков — именно в этих сословиях чаще давали меткие и нестандартные прозвища, которые потом закреплялись как фамилии без дополнительных суффиксов.