Фамилия Таркановская — женская форма фамилии Таркановский, а та, в свою очередь, образована от географического названия. Суффикс «-ск-» в русских фамилиях прямо указывает на происхождение от топонима: так называли человека, владевшего землёй в определённой местности или родом оттуда. В данном случае основа — «Тарканово» или «Таркановка». Такие названия встречались в западных губерниях Российской империи, где фамилии на «-ский/-цкий» были особенно распространены среди шляхты и духовенства.

Корень «Таркан» восходит к тюркскому слову «тархан» — так в Золотой Орде и тюркских ханствах называли человека, освобождённого от налогов, часто военного или знатного. На Руси это слово прижилось как прозвище: Тархан — либо потомок тархана, либо человек, перенявший такое прозвание за независимый нрав. Позже от прозвища возникли названия деревень — Тарханово, Тархановка. Фамилия Таркановская, таким образом, означает «выходец из селения, принадлежавшего Тархану или названного в его честь».

Географически фамилия тяготеет к западу и юго-западу исторической России. Больше всего носителей встречается на Украине, в Беларуси и в южных областях России — в тех краях, где оседали выходцы из Речи Посполитой и где топонимы на «-ово» смешивались с польской традицией фамилий на «-ский». В центральных и северных губерниях эта фамилия редка: там предпочитали патронимические формы на «-ов» — Тарханов.

Интересно, что написание через «а» во втором слоге (Таркановская, а не Тархановская) — результат диалектного аканья или позднейшей путаницы при записи. В дореволюционных метрических книгах можно встретить оба варианта, но в современном русском языке закрепился именно «Таркановский». Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из мелкопоместных дворян или казачьей старшины, получивших земельный надел, названный по старому тюркскому прозвищу.