Фамилия Таровых чаще всего — «акающий» вариант фамилии Торовых, и произошла она от прозвища Торовой. В основе лежит слово «торов», которым в Сибири обозначали товар. Поэтому первая и самая вероятная версия: родоначальник Таровых занимался торговлей, был купцом или приказчиком. Вторая версия связана с характером, а не с ремеслом: в старых говорах «тороватый» означало щедрого, хлебосольного человека, готового поделиться последним. Смысл этой черты хорошо передает пословица «Не богат, да тороват, гостям рад». Обе трактовки не противоречат друг другу: и купец, и радушный хозяин в народном сознании — люди, у которых «водится» достаток и которые не скупятся.

Сама фамилия образована по стандартной модели: к прозвищу Торовой добавили суффикс -ов, получилась форма «Торов», а затем под влиянием акающего произношения, когда безударная «о» звучит как «а», написание закрепилось как Таров. Такая же логика работает в парах Остапов — Астапов, Окунев — Акунев. В документах по Краснодарскому краю встречается однокоренная фамилия в форме Таровой: например, Таровой Дмитрий Николаевич, родившийся в 1863 году, и его потомок Таровой Роман Дмитриевич, 1927 года рождения. Это лишний раз подтверждает, что фамилия бытовала в разных грамматических формах, но корень оставался неизменным.

Если ваши предки носили фамилию Таровых, стоит присмотреться к сибирским корням: именно там слово «торов» имело хождение в значении «товар». Впрочем, не исключено, что предок был не торговцем, а просто человеком с открытой душой, которого за щедрость прозвали Тороватым. В любом случае фамилия хранит память о том, каким видели основателя рода окружающие — богатым ли купцом или добрым хозяином, но точно не последним человеком на селе.