Фамилия Татарунас звучит не по-русски, и это первое, что бросается в глаза. Её основа — Татару — указывает на литовское происхождение. В литовском языке суффикс -unas (в русской передаче -унас) — один из самых распространённых патронимических суффиксов, примерно как русские -ов или -ин. Он образует фамилии от имени или прозвища отца. Таким образом, Татарунас буквально означает «сын Татаруса» или «потомок Татаруса», где Татарус — это, скорее всего, прозвище, данное человеку, чем-то напоминавшему татарина.

Сами прозвища по этническому признаку были широко распространены в Великом княжестве Литовском. Татарами в те времена называли не только представителей тюркских народов, но и вообще любого смуглого, черноволосого или воинственного человека, а также тех, кто носил одежду, похожую на татарскую. В Литве и на землях современной Беларуси существовала и оседлая татарская община, так что прозвище могло закрепиться за человеком, который жил по соседству с татарами или имел с ними дело.

Географически фамилия Татарунас почти наверняка привязана к территории современной Литвы или к тем районам Беларуси, которые исторически входили в состав Литовского государства. В русскоязычной среде она встречается редко и обычно как результат миграции литовцев в советское или постсоветское время. Сословной принадлежности по фамилии не определить: такую модель образования использовали и крестьяне, и мелкая шляхта.

Любопытно, что в отличие от многих русских фамилий на -ов, которые со временем утратили связь с отчеством, литовские фамилии на -унас долго сохраняли живое патронимическое значение. В XIX веке, при русификации, многие литовцы меняли окончание на -ов или -ин, но Татарунас — пример фамилии, которая осталась в исходной, национальной форме. Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка был литовцем или выходцем из литовско-белорусского пограничья, а его прозвище указывало на внешность или род занятий, а не на реальное этническое происхождение.