Фамилия Татарунис — редкий случай в русском ономастиконе. Её происхождение почти наверняка не русское, а литовское или польское, и это видно по окончанию. Суффикс -унис характерен для литовских фамилий, где он часто указывает на происхождение от отца или на принадлежность к роду. В русском языке такая модель образования практически не встречается, поэтому носитель фамилии Татарунис, скорее всего, имеет предков с территории Великого княжества Литовского, которое исторически включало земли современной Литвы, Беларуси и части Польши.

Основа фамилии — «Татарун» — восходит к слову «татарин». В славянских и балтийских языках это могло быть прозвищем, которое давали человеку по внешним признакам (смуглая кожа, чёрные волосы, раскосые глаза) или по роду занятий. В Речи Посполитой татарами часто называли служилых людей татарского происхождения, которые несли военную службу и получали за это землю. Такие татарские поселения (например, в окрестностях Вильнюса или Тракая) существовали веками, и их потомки нередко носили фамилии, прямо указывающие на этническое происхождение — Татарунис, Татаревич, Татаринович.

Есть и другая, менее вероятная версия: фамилия могла возникнуть на русской почве, но тогда её бы записали как Татарунов или Татарунин. Суффикс -унис выдаёт иную языковую среду. В литовском языке фамилии на -унис (например, Янунис, Каспарунис) образуются от имён, так что Татарунис — это буквально «сын татарина» или «потомок татарина». Учитывая, что в Литве и Беларуси татары были довольно замкнутой общиной, фамилия могла сохраниться именно в этой форме, не русифицируясь.

Географически фамилия Татарунис сегодня встречается единично, в основном на северо-западе России, в Литве и среди потомков литовских эмигрантов. В дореволюционных метрических книгах её можно найти в Виленской и Ковенской губерниях. Сословная принадлежность предков могла быть разной — от мелкой шляхты до мещан, но, скорее всего, они не относились к высшей аристократии, а были либо военными поселенцами, либо крестьянами, получившими фамилию по прозвищу.